Bayesiaanse kansrekening

Daar is weer een opdracht,
deze keer gaat het over een artikel:
Bayesiaanse kansrekening, een verfrissend en leerzaam alternatief door Henk Thijms, Euclides Vol. 83, nr.4 , pp 154-6.
Mocht je dit willen nalezen, kijk dan gerust op: http://www.feweb.vu.nl/nl/Images/VUurwerk%207_tcm96-117407.pdf op pagina 26.


De Formule van Bayes

Dit artikel gaat over de formule van Bayes:

In woorden: de kans op H waarvoor al geld E in zijn geheel gedeeld door de kans op geen H waarvoor al geld E IS de kans op H gedeeld door de kans op geen H maal de kans op E waarvoor al geld H gedeeld door de kans op E waarvoor al geld dat het niet H is

ODDS

De kans wordt echter vaak in odds geformuleerd. odds is een verhouding, zoals de verhouding 1 staat tot 1 dat ik het spelletje monopoly win, dit betekend dat ik even veel kans het om mijn spelletje te winnen. de kans dat ik win is dan dus 1/2. om van odds om te schrijven naar kansen wordt de volgende formule gebruikt

In het geval van het voorbeeld van monopoly dus.

Interesse

Ik heb dit artikel gekozen, omdat ik de Bayesiaanse kansrekening een interessante manier vond om kansrekening te doen. Ook was ik heel blij dat ik eindelijk begreep wat odds precies waren. Want er word vaak gepraat over 1 staat tot 1. Ik had dit vaak gebruikt bij verschillende vakken, maar wist nog niet precies waar de oorsprong lag. Wat ik zeker nog leuk vond was dat er opgaven aan het eind stonden hierdoor kon ik kijken of ik het snapte. Dit zal ik jullie ook nog laten zien.

Oefenopgave

Tot slot wil ik toch nog even laten zien dat ik de formule onder de knie heb, ik zal hiervoor een van de oefenopgaven maken die op het eind van het artikel is gegeven.       

3. in een stad zijn twee taxibedrijven, de 'Gele Rijders' en de 'Witte Rijders' waarbij 85% van de taxi's van het eerste bedrijf zijn en 15% van het tweede bedrijf. Op een regenachtige avond is een taxi na een aanrijding doorgereden. Een getuige van het ongeluk meent de taxi geïdentificeerd als een taxi van de 'Witte Rijders'. Als de rechtbank de betrouwbaarheid van de waarneming van de getuige test onder vergelijkbare weersomstandigheden, dan blijkt dat in 80% van de gevallen de getuige de kleur van de taxi juist identificeert en in 20% van de gevallen verkeerd. Wat is de kans dat de doorgereden taxi inderdaad van de 'Witte Rijders' is?

P(H) =  P(wit) = 0,15

P(niet H) =  P(geel) = 0,85

P(E|H) = P(gedachte zegt wit | de taxi is wit) = 0,8

P(E| niet H) =  P(gedachte zegt wit | de taxi is geel) = 0,2

0,15       0,8  

0,85  *   0,2    =  0,70588....

de odds zijn dan: 12 : 17

Trivia:
Shakespeare schreef over odds:

Knew that we ventured on such dangerous seas That if we wrought out life it was ten to one

—William Shakespeare, Henry IV, Part II, Act I, Scene 1 lines 181–2.

Hilberts Hotel en Cantors diagonaalargument

De volgende twee onderwerpen komen er aan, dit maal over de verzamenlingenleer, en dan in het algemeen kardinaalgetallen. Twee bijzondere dingen hiervan zijn Hilberts Hotel en Cantors diagonaalargument. Deze zal ik achtereenvolgens gaan behandelen

Hilberts Hotel

Okee stel je eens een hotel voor met een n aantal kamers, die aftelbaar oneindig zijn.

Als alle n kamers nu bezet zijn kunnen er nog steeds een n aantal gasten bijkomen, want om één extra gast te herbergen moeten alle n gasten één kamer opschuiven, en dit kan omdat het nog steeds aftelbaar oneindig is. Op die manier kan er dus altijd nog een n aantal gasten (namelijk voor de getallenverzameling Z) bij komen.

nu zeg je misschien en wat dan als er een aftelbaar oneindig aantal nieuwe gasten komen. In dat geval moeten alle gasten hun kamer nummer met 2 vermenigvuldigen en naar die kamer verhuizen, zo komt er een aftelbaar oneindig vrije kamers vrij, namelijk de kamers met oneven nummers. Daar kan het aftelbaar oneindig aantal nieuwe gasten dan in geherbergd worden.

Nu komt er een aftelbaar oneindig aantal bussen aan (ieder met een aftelbaar oneindig aantal stoelen, vol met aftelbaar oneindig aantal passagiers, die allemaal aftelbaar oneindig graag willen slapen *oooh, wacht die laatste zin klopt niet helemaal*). Om al die aftelbaar oneindig aantal passagiers uit die aftelbaar oneindig aantal bussen (namelijk de getallenverzameling Q) te huisvesten in de herberg, zal elke huidig gast weer zijn kamer nummer moeten vermenigvuldigen met 2. Dan zijn dus weer de kamers met onevennummers over, deze worden nu opgedeeld in de drievouden, de vijfvouden, de zevenvouden, de elfvouden en ga zo maar door (note: die veelvouden zijn telkens veelvouden van de priemgetallen.) zo zijn er dus aftelbaar oneindig veel plaatsen vrij gemaakt, en is kamer nummer 1 nog vrij voor mij =D. En kamer nummer 6 voor meneer Boers ;)

Cantors diagonaalargument
Dit verhaal vergt iets meer concentratie. Cantors diagonaalargument, is het bewijs dat het kardinaalsgetal van R (verzameling van reeële getalen) groter is dan aftelbaar oneindig groot.

Dit doet hij als volgt: we maken een lijst met een aftelbaar oneindig groot getal achter de komma.

0,213531....

0,309698....

0,479569....

0,569832....

0,621569....

...................

Deze koppelen we vervolgens aan de natuurlijke getallen (waarbij we dus aannemen dat R wel aftelbaar oneindig groot zou zijn) dit ziet er dan als volgt uit

1                         0,213531....

2                         0,309698....

3                         0,479569....

4                         0,569832....

5                         0,621569....

...                        ..................

Nu nemen we uit elke rij het getal achter de komma van in welke rij die staat

dus in dit geval wordt het nieuwe komma getal dan 0,20986.

Dit gaat door tot het n'de getal uit de rij n

Al deze getallen verhogen we dan met 1, waarbij een 9 verandert in een 0. 

In mijn voorbeeld geeft dat dus 0,31086

Dit getal komt niet in de lijst voor wat het n'de getal zal altijd verschillen, daarom is het dus niet mogelijk dat R aftelbaar oneindig is.

Vervolg van donderdag

Tijd: 10.36
Plaats: Thuis

de 4 leerstijlen volgens kolb

Vakantie!, en ja ik zit aan mijn wiskunde blog, misschien een beetje raar, maar ik was nog niet helemaal klaar met mijn vorige bericht over de leerstijlen van Kolb.
In mijn vorige bericht heb ik verteld dat het model van Kolb gebruikt maakt van de volgende 4 stijlen:

1. de bezinner (dromer, waarnemer)
2. de denker
3. de beslisser (toepasser)
4. de doener



Deze zal ik nu één voor één wat verder uitweiden:


1. De Bezinner
De bezinner wordt ook nog wel dromer of waarnemer genoemd.
De eigenschappen van de bezinner zijn:
- Ze hebben een voorkeur voor concreet ervaren en reflectief observeren.
- Ze gaan opzoek naar leersituaties waar ze kunnen meemaken hoe iets in de praktijk uitpakt.
- Ze bekijken problemen van verschillende kanten en zien daardoor steeds nieuwe ingangen en oplossingen.
- Ze leren heel snel via identificatie.


Voorbeeld: Willemijn kijkt om zich heen en observeert hoe Evelien al snel tot een opzet komt. Ook Bert is al snel aan de slag gegaan, concludeert ze. Hij heeft een wel erg alternatieve keuze gemaakt. Willemijn pakt een boek over beroemde woonhuisarchitecten. Ze bladert er wat doorheen, ondertussen denkend over een mogelijk ontwerp. Dan gaat ze naar de docent en stelt hem enkele vragen over de aard van het te gebruiken materiaal. Na zijn antwoord gaat ze terug naar haar werkplek bekijkt nogmaals het materiaal en kiest vervolgens voor hout. Dan gaat zij aan het werk.





2. De Denker
De eigenschappen van de denker zijn:
- Ze hebben een voorkeur voor reflectief observeren en abstract conceptualiseren.
- Ze zetten het liefst observaties om in hypothesen of theorieën.
- Ze kunnen goed redeneren en zijn graag intellectueel bezig.
- Ze werken graag zelfstandig zodat ze zelf eerst een beeld kunnen vormen van de theorie.


Voorbeeld: Joost pakt zijn literatuur en leest nog even de opgegeven paragrafen door. Hij stelt nog een vraag aan de docent over de theorie en maakt van het antwoord nog enkele aantekeningen in zijn schrift. Dan bedenkt hij hoe hij de opdracht zal gaan uitvoeren. Hij maakt enkele schetsen. Hij kiest voor golfkarton en bouwt zijn woonhuis precies volgens de tekening die hij vooraf heeft gemaakt. Als hij klaar is, zet hij zijn maquette op tafel en kijkt van een afstand toe op zijn product. Dan gaat hij bij zijn medestudenten kijken. 




3. De Beslisser
Ook wel toepasser genoemd.
De eigenschappen van de beslisser zijn:
- Ze hebben een voorkeur voor abstract conceptualiseren en actief experimenteren.
- Ze proberen het liefst theorieën uit in de praktijk of in experimenten.
- Ze nemen initiatief en durven te experimenteren en gaan probleemoplossend te werk.
- Ze vinden het fijn om duidelijke en beknopt geformuleerde regels te hebben die zij in een oefensituatie kunnen verwerken.


Voorbeeld: Rolf besluit een woonhuis met drie woonlagen te maken. Hij kiest er direct voor het model van de docent na te bouwen. Hoewel hij nog niet precies weet hoe hij dat moet doen, probeert hij het toch. Bij de zolderetage krijgt hij problemen. Het lukt hem niet om er een dakkapel op te zetten. Hij gaat bij zijn medestudenten rondkijken om te zien wie er ook met een dakkapel bezig is. Dat blijkt niemand te zijn. Daarom zoekt hij op de computer of hij de constructie van dakkapellen technisch kan geven. Uit de vier methoden die hij vindt maakt hij een keuze.

4. De Doener

De eigenschappen van de doener zijn:

- Ze hebben voorkeur voor actief experimenteren en concreet ervaren.

- Ze hebben een voorkeur om zo snel mogelijk aan de slag te gaan

- Ze leren het beste wanneer ze tijd krijgen om te oefenen.

- Ze gebruiken leerprocessen waarbij ze leren van hun fouten.

Voorbeeld: Evelien is blij met de opdracht. Ze pakt direct het materiaal en begint te knutselen. Als snel ontstaat er iets wat op een huis lijkt. Een muurtje stort in. Evelien vindt ze dat ze op dit moment genoeg heeft gebouwd. Ze kijkt om zich heen naar de producten van haar medestudenten. Al rondlopend doet ze nieuwe ideeën op. Dan besluit ze in het boek te gaan kijken. Ze leest enkele paragrafen over kartonverwerking. Ze verzamelt diverse soorten karton en vergelijkt deze met elkaar. Dan kiest ze gedecideerd voor golfkarton en bouwt verder aan het huis.

Bij deze voorbeelden komt de verschillende aanpak van de personen naar voren, zo is Willemijn duidelijk een bezinner, ze kijkt eerst rustig om zich heen, vervolgens zoekt ze nog wat informatie voordat ze aan de slag gaat. Ook bij Joost is zijn leerstijl duidelijk, hij observeert alles eerst, om het vervolgens in theorie om te zetten die die dan pas uitwerkt. En Rolf gaat meteen aan de gang, om de theorie te testen, en als hij dan tegen een probleem aan kijkt probeert hij het op verschillende manieren op te lossen, dit zijn typisch de eigenschappen van een beslisser. Als laatste heb je dan nog Evelien, die meteen begint te bouwen, waarmee ze een fout maakt, die ze uiteindelijk toch nog oplost. Evelien leert dus van haar fouten en is daardoor een typische doener.

Met dit voorbeeld, waarbij de opdracht was een maquette van een woonhuis te ontwerpen, komen de verschillende leerstijlen naar voren. Denk eens bij jezelf na hoe jij te werk zou gaan, en vergelijk jouw methode eens met de eigenschappen van de verschillende leerstijlen, en dan kom jij ook te weten wat voor type je bent.

Ik zou bijvoorbeeld meteen aan de gang gaan, waarbij ik een beetje kijk naar iedereen op me heen. Ik zou dan misschien veel fouten maken, maar ik zou tijd genoeg hebben om die op te lossen. Daarmee ben ik dus een typische doener, maar ik maak ook gebruik van de andere leerstijlen.

Het is dus ook niet zo dat je precies een van deze leerstijlen gebruikt en de andere niet. Het is dus ook zo dat Kolb ontdekte dat mensen geneigd zijn vooral die leerfase te ontwikkelen waar ze toch al 'sterk in zijn'. Hij vond echter dat mensen ook aandacht moeten besteden aan manieren van leren waarin ze minder goed zijn. De leercyclus zou dan meer volledig en evenwichtig doorlopen kunnen worden, waarbij elke fase de aandacht krijgt die ze verdient. In een groep zorgt de diversiteit van bijdragen van de verschillende groepsleden er meestal voor dat dit wel het geval is.

Dit was het weer voor vandaag, misschien dat ik nog een keer meer bedenk. In dat geval zal ik zo snel mogelijk een nieuwe bericht plaatsen.

Leerstijlen

Ik begin nu met mijn eerste opdracht voor dit project,
Plaats: JvO lokaal 36 (beter bekent als computerlokaal)
Tijd: 15.01

Deze eerste opdracht zal gaan over de leerstijlentheorie van Kolb

David Kolb heeft een van de eerste én meest gebruikte modellen voor leerstijlen in het onderwijs gemaakt.
Dit model maakt gebruik van 4 stijlen:
1. de bezinner
2. de denker
3. de beslisser
4. de doener

Ik zal nu zelf ook deze test ondergaan op drie verschillende sites.....
de resultaten zijn :
test 1 (op: http://www.damhuiselshoutverschure.nl/tests/kolb_leerstijl.pl): doener, beslisser, dromer, denker
test 2 (op: http://www.thesis.nl/index.php?option=com_db8kolb&Itemid=42): passief en abstract -> beslisser
test 3 (op: http://www.123test.nl/leerstijl/): Jouw motto is: Niet zeuren, gewoon doen!

Probeer zelf de testen ook eens en veel plezier!