De volgende twee onderwerpen komen er aan, dit maal over de verzamenlingenleer, en dan in het algemeen kardinaalgetallen. Twee bijzondere dingen hiervan zijn Hilberts Hotel en Cantors diagonaalargument. Deze zal ik achtereenvolgens gaan behandelen
Hilberts Hotel
Okee stel je eens een hotel voor met een n aantal kamers, die aftelbaar oneindig zijn.
Als alle n kamers nu bezet zijn kunnen er nog steeds een n aantal gasten bijkomen, want om één extra gast te herbergen moeten alle n gasten één kamer opschuiven, en dit kan omdat het nog steeds aftelbaar oneindig is. Op die manier kan er dus altijd nog een n aantal gasten (namelijk voor de getallenverzameling Z) bij komen.
nu zeg je misschien en wat dan als er een aftelbaar oneindig aantal nieuwe gasten komen. In dat geval moeten alle gasten hun kamer nummer met 2 vermenigvuldigen en naar die kamer verhuizen, zo komt er een aftelbaar oneindig vrije kamers vrij, namelijk de kamers met oneven nummers. Daar kan het aftelbaar oneindig aantal nieuwe gasten dan in geherbergd worden.Nu komt er een aftelbaar oneindig aantal bussen aan (ieder met een aftelbaar oneindig aantal stoelen, vol met aftelbaar oneindig aantal passagiers, die allemaal aftelbaar oneindig graag willen slapen *oooh, wacht die laatste zin klopt niet helemaal*). Om al die aftelbaar oneindig aantal passagiers uit die aftelbaar oneindig aantal bussen (namelijk de getallenverzameling Q) te huisvesten in de herberg, zal elke huidig gast weer zijn kamer nummer moeten vermenigvuldigen met 2. Dan zijn dus weer de kamers met onevennummers over, deze worden nu opgedeeld in de drievouden, de vijfvouden, de zevenvouden, de elfvouden en ga zo maar door (note: die veelvouden zijn telkens veelvouden van de priemgetallen.) zo zijn er dus aftelbaar oneindig veel plaatsen vrij gemaakt, en is kamer nummer 1 nog vrij voor mij =D. En kamer nummer 6 voor meneer Boers ;)
Cantors diagonaalargument
Dit verhaal vergt iets meer concentratie. Cantors diagonaalargument, is het bewijs dat het kardinaalsgetal van R (verzameling van reeële getalen) groter is dan aftelbaar oneindig groot.
Dit verhaal vergt iets meer concentratie. Cantors diagonaalargument, is het bewijs dat het kardinaalsgetal van R (verzameling van reeële getalen) groter is dan aftelbaar oneindig groot.Dit doet hij als volgt: we maken een lijst met een aftelbaar oneindig groot getal achter de komma.
0,213531....
0,309698....
0,479569....
0,569832....
0,621569....
...................
Deze koppelen we vervolgens aan de natuurlijke getallen (waarbij we dus aannemen dat R wel aftelbaar oneindig groot zou zijn) dit ziet er dan als volgt uit
1 0,213531....
2 0,309698....
3 0,479569....
4 0,569832....
5 0,621569....
... ..................
Nu nemen we uit elke rij het getal achter de komma van in welke rij die staat
dus in dit geval wordt het nieuwe komma getal dan 0,20986.
Dit gaat door tot het n'de getal uit de rij n
Al deze getallen verhogen we dan met 1, waarbij een 9 verandert in een 0.
In mijn voorbeeld geeft dat dus 0,31086
Dit getal komt niet in de lijst voor wat het n'de getal zal altijd verschillen, daarom is het dus niet mogelijk dat R aftelbaar oneindig is.
